分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出△BB1C是等邊三角形,取BC的中點(diǎn)為O,則BC⊥OB1,由△ABC是等邊三角形,得BC⊥OA,從而BC⊥平面AOB1,由此能證明BC⊥AB1.
(Ⅱ)分別以O(shè)A,OB,OB1所在的直線作為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C-AB1-C1(銳角)的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵四邊形BB1C1C是菱形,∠CBB1=60°,
∴△BB1C是等邊三角形,
取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OA,OB,則BC⊥OB1,
又∵△ABC是等邊三角形,∴BC⊥OA,
∵OA∩OB1,∴BC⊥平面AOB1,
∵AB1?平面AOB1,∴BC⊥AB1.
解:(Ⅱ)∵△ABC和△BB1C是全等的等邊三角形,AB=2,
∴OA=OB1=√3,
又∵AB1=√6,∴AB12=OA2+OB12,∴OB1⊥OA,
又∵OB1⊥BC,∴OB1⊥平面ABC,
分別以O(shè)A,OB,OB1所在的直線作為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(√3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),
→B1C=(0,-1,-√3),→AC1=(-√3,−2,√3),→B1C1=(0,-2,0),→AC=(-√3,-1,0),
設(shè)→m=(x,y,z)是平面C1AB1的一個法向量,
則{→m•→AC1=−√3x−2y+√3z=0→m•→B1C1=2y=0,取x=1,得→m=(1,0,1),
設(shè)→n=(a,b,c)是平面CAB1的一個法向量,
則{→n•→AC=−√3a−b=0→n•→B1C=−b−√3c=0,取a=1,得→n=(1,-√3,1),
cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=2√2•√5=√105,
∴二面角C-AB1-C1(銳角)的余弦值為√105.
點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 充要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分不必要條件 | D. | 即不充分也不必要條件 |
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