Question

已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿(mǎn)足d_n＝，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n，又知在數(shù)列{b_n}中，b₁＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，n，.
(1)求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列{b_n}中的第a₁項(xiàng)，第a₂項(xiàng)，第a₃項(xiàng)，…，第a_n項(xiàng)，…刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2 013項(xiàng)和．

Answer 1

(1) a_n＝3n, b_n＝2ⁿ. (2)

(1)d_n＝，∴a_n＝d₁＋d₂＋d₃＋…＋d_2n＝＝3n.
又由題知：令m＝1，則b₂＝＝2²，b₃＝＝2³，…b_n＝＝2ⁿ，若b_n＝2ⁿ，，則＝2^nm，＝2^mn，所以恒成立．
若b_n≠2ⁿ，當(dāng)m＝1，不成立，所以b_n＝2ⁿ.
(2)由題意知將數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是b₁＝2，b₂＝4公比均是8.
∴T_{2 013}＝(c₁＋c₃＋c₅＋…＋c_{2 013})＋(c₂＋c₄＋c₆＋…＋c_{2 012})＝＋＝.