已知圓O:x2+y2=2交x軸于AB兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若點P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切;

(3)試探究:當(dāng)點P在圓O上運動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明;若不是,請說明理由.

(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2),故直線與圓相切;(3)當(dāng)點在圓上運動時,,故直線始終與圓相切


解析:

(1)因為,所以c=1

 則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)因為(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=-2x(6分)

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2,所以點Q(-2,4))

所以,又,所以,即,

故直線與圓相切

(3)當(dāng)點在圓上運動時,直線與圓保持相切      

證明:設(shè)),則,所以,,

所以直線OQ的方程為        

所以點Q(-2,)                    

所以,

,所以,即,故直線始終與圓相切

練習(xí)冊系列答案
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已知圓方程x2+y2-2x-4y+m=0.
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(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;

(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點P的坐標(biāo).

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