如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

(1);(2)詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)條件“右焦點為，離心率為”得到含有的兩個方程，進而求解橢圓方程；（2）通過直線和直線與橢圓連接方程組，得到四點坐標，統(tǒng)一變量，減少字母，然后利用斜率公式證明直線，的斜率之和為定值.在第（2）問的運算上要注意先化簡再代入．本題的幾何背景是：在如圖所示的圓中，因為，且，所以．

試題解析：（1）解：由題意，得，，故，
從而，
所以橢圓的方程為．      ①                             5分
（2）證明：設(shè)直線的方程為，   ②
直線的方程為，   ③                                  7分
由①②得，點，的橫坐標為，
由①③得，點，的橫坐標為，                    9分
記，，，，
則直線，的斜率之和為


                               13分

．                                                          16分
考點：1.橢圓的標準方程;2.直線的斜率;3.直線與橢圓的位置關(guān)系．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當(dāng)為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線的參數(shù)方程為是參數(shù)，是曲線與軸正半軸的交點．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經(jīng)過點與曲線只有一個公共點的直線的極坐標方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，A,B是橢圓的兩個頂點, ，直線AB的斜率為．求橢圓的方程；（2）設(shè)直線平行于AB，與x,y軸分別交于點M、N，與橢圓相交于C、D，
證明：的面積等于的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：











（1）求，的標準方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點，且與的準線交于，試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與曲線的交點為、，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為4，且過點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

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