Question

若將有理數(shù)集Q分成兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(M，N)為有理數(shù)集的一個(gè)分割．試判斷，對(duì)于有理數(shù)集的任一分割(M，N) ，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是

A．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素	B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素	D．M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素

Answer 1

C

有理數(shù)集是無(wú)限集合，沒有最大值和最小值。而作為有理數(shù)集的任一分割(M，N)，由于M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則M不存在最小元素（若存在的話，則這個(gè)最小元素也是有理數(shù)集的最小元素，與有理數(shù)集是無(wú)限集合矛盾），同理N不存在最大元素，故B成立。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205436645908.png" style="vertical-align:middle;" />，所以兩個(gè)必有一個(gè)為半開半閉區(qū)間一個(gè)為開區(qū)間，所以M，N不可能同時(shí)存在最大元素和最小元素，所以C不成立。
若M為半開半閉區(qū)間，N為開區(qū)間，則M存在最大元素，而N沒有最小元素，此時(shí)D成立。
若M為開區(qū)間，N為半開半閉區(qū)間，則M沒有最大元素，而N有最小元素，此時(shí)A成立。
綜上可得，選C。