請(qǐng)先閱讀：在等式cos2x=2cos2x-1 (x∈R)的兩邊對(duì)x求導(dǎo)（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求導(dǎo)法則得（-sin2x）·2=4cosx（-sinx），化簡(jiǎn)后得等式sin2x=2sinxcosx，
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），試由等式（x∈R，整數(shù)n≥2），證明：；
(Ⅱ)對(duì)于整數(shù)n≥3，求證：
(ⅰ)；
(ⅱ)；
(ⅲ)。
證明：(Ⅰ)在等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得
，
移項(xiàng)得。（*）
(Ⅱ)(ⅰ)在(*)式中，令x=-1，
整理，得，
所以。
(ⅱ)由(Ⅰ)知，
兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，
在上式中令x= -1，得，
即，
亦即，①
又由(ⅰ)知，，②
由①+②，得。
(ⅲ)將等式兩邊在[0，1]上對(duì)x積分，
，
由微積分基本定理，得
，
所以。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

請(qǐng)先閱讀：
在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的兩邊求導(dǎo)，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求導(dǎo)法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡(jiǎn)得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
xk-1．
（2）對(duì)于正整數(shù)n≥3，求證：
（i）
n
k=1
(-1)kk
C
k
n
=0；
（ii）
n
k=1
(-1)kk2
C
k
n
=0；
（iii）
n
k=1
1
k+1
C
k
n
=
2n+1-1
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

請(qǐng)先閱讀：

在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷） 題型：解答題

請(qǐng)先閱讀：
在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，
由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。
（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：
（i）； （ii）； （iii）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷） 題型：解答題

請(qǐng)先閱讀：

在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（江蘇卷23）請(qǐng)先閱讀：在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：

，由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：．

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1＋x）n＝（，正整數(shù)），證明：＝．

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：（i）＝0；

（ii）＝0；

（iii）．

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