Question

對a，b＞0，a≠b，已知下列不等式成立：
①2ab＜a²+b²；
②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；
④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵；
（Ⅰ）用類比的方法寫出

a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）

＜a⁶+b⁶
（Ⅱ）若a，b＞0，a≠b，證明：a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵
（Ⅲ）將上述不等式推廣到一般的情形，請寫出你所得結(jié)論的數(shù)學表達式（不證明）

Answer 1

分析：（I）由已知中四個不等式分析不等號兩邊字母的次數(shù)與系數(shù)的變化規(guī)律，進而可得答案；
（II）若證明：a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵，即證明a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）＞0，分解因式后，根據(jù)a，b＞0，a≠b，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)可得答案．
（III）根據(jù)（I）中歸納的不等式兩邊字母次數(shù)與系數(shù)的變化規(guī)律，進一步可推廣到一般的情形．

解答：解：（Ⅰ）由①2ab＜a²+b²；
②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；
④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵；
…
歸納可得：
a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）…（3分）
（Ⅱ）∵a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）=a³（a²-b²）+b³（b²-a²）
=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²） …（7分）
而a，b＞0，a≠b
∴a+b＞0，（a-b）²＞0，a²+ab+b²＞0
∴a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）＞0
即a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵…（10分）
（Ⅲ）一般情形：a^mbⁿ+aⁿb^m＜a^m+n+b^m+n（a，b＞0，a≠b，m，n∈N₊）…（12分）
故答案為：a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中根據(jù)已知中不等式，分析不等號兩邊字母的次數(shù)及系數(shù)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．