Question

函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，求t的取值范圍；
（3）f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m之差M-m為g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）令其等于0求出駐點(diǎn)，分區(qū)間討論函數(shù)的增減性求出函數(shù)極值即可；
（2）由圖象f（x）在[t，t+2]上為增函數(shù)，即t+2≤-1或t≥1即可得到t的取值范圍；
（3）令f（t+2）=f（t）求出t的值，用（2）中t的取值范圍，和函數(shù)的駐點(diǎn)分6種情況求出函數(shù)的最大值與最小值相減得到g（t）的解析式，分別各段函數(shù)的最小值比較最小即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，x=±1，如圖所示：

所以，f（x）_極大=f（-1）=2，f（x）_極小=f（1）=-2．
（2）f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，必須有t+2≤-1或t≥1，
所以t的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，∞）．
（3）當(dāng)t≤-3時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=M-m=6t²+12t+2，
令f（t+2）=f（t），6t²+12t+2=0，，
當(dāng)時，m=f（t），M=2，g（t）=-t³+3t+2，
當(dāng)時，m=f（t+2），M=2，g（t）=-t³+6t²-9t，
當(dāng)，m=-2，M=f（t），g（t）=t³-3t+2，
當(dāng)時，m=-2，M=f（t+2），g（t）=t³+6t²+9t+4，
當(dāng)t＞1時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=6t²+12t+2．
∴
g（t）最小值為．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．