Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)在點點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）將代入解析式，求出切點坐標，對函數(shù)求導，將代入導函數(shù)，即可求得斜率，由點斜式方程求出切線方程；

（Ⅱ）將不等式化簡為一側(cè)為0的形式，構造新的函數(shù)，對新函數(shù)求導分析，由于導函數(shù)正負無法直接判斷，所以對導函數(shù)進行求導分析，對參數(shù)進行分類討論，從而逐步探究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，求出參數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）∵，∴，

∴，，

∴函數(shù)在點點處的切線方程為.

（Ⅱ），令，

則，，

①若，則，∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

即，不符合題意.

②若，則當時，，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

即，不符合題意.

③若，則當時，，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，

即，符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.