Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 數列{an}滿足，2Sn=an（an+1）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{ }的前n項和為An ， 求證：對任意正整數n，都有An＜ 成立；
（3）數列{bn}滿足bn=（ ）nan ， 它的前n項和為Tn ， 若存在正整數n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+ ﹣2n﹣1成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，當n≥2時， ，

兩式相減得： ，所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0．

因為數列{an}為正項數列，故an+an﹣1≠0，也即an﹣an﹣1=1，

所以數列{an}為以1為首項1為公差的等差數列，故通項公式為an=n，n∈N*

（2）解： = ，

所以對任意正整數n，都有 成立

（3）解：易知 ，則 ，①，

，②

①﹣②可得： ．

故 ，所以不等式 成立，

若n為偶數，則 ，所以 ．

設 ，則y=﹣2t+t2+1=（t﹣1）2在 單調遞減，

故當 時， ，所以 ；

若n為奇數，則 ，所以 ．

設 ，則y=2t﹣t2﹣1=﹣（t﹣1）2在（0，1]單調遞增，

故當t=1時，ymax=0，所以λ＜0．

綜上所述，λ的取值范圍λ＜0或

【解析】（1）根據數列的遞推公式即可求出數列{an}的通項公式，（2） = ＜ = ﹣ ，利用放縮法即可證明，（3）先利用錯位相減法求出數列{bn}的前n項和為Tn ， 不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+ ﹣2n﹣1成立，轉化為 成立，分n為偶數和奇數，根據函數的性質即可求出實數λ的取值范圍
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．