Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3，x∈R．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性并將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式；
（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與y=a的圖象有四個不同交點，則實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x）得函數(shù)為偶函數(shù)，對x分類討論：x≥0，x＜0得分段函數(shù)的解析式；
（2）由分段函數(shù)分兩種情況作二次函數(shù)的圖象；
（3）由圖象可知函數(shù)的單調區(qū)間及值域．

解答 解：（1）因為函數(shù)的定義域為R，關于坐標原點對稱，
且f（-x）=（-x）²-4|-x|+3=x²-4|x|+3=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)．
f（x）=x²-4|x|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$
（2）如圖，
單調增區(qū)間為：：[-2，0），[2，+∞），
單調減區(qū)間為（-∞，-2），[0，2]．
（3）由函數(shù)的圖象可知：函數(shù)f（x）的圖象與y=a的圖象有四個不同交點，則實數(shù)a的取值范圍：（-1，3）．

點評 本題考查函數(shù)的圖象及性質．考查數(shù)形結合思想，轉化思想以及計算能力．