【題目】在△ABC中,A(﹣1,0),B(1,0),若△ABC的重心G和垂心H滿(mǎn)足GH平行于x軸(G.H不重合),
(I)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡Γ的方程;
(II)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線(xiàn)AC與以O(shè)為圓心,以|OH|為半徑的圓相切,求此時(shí)直線(xiàn)AC的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可設(shè)C(x,y),則G( ),H(x, ).

=(x﹣1, ), =(x+1,y),

∵H為垂心,∴ =x2﹣1+ =0,整理可得x2+ =1,

即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡Г的方程為x2+ =1(xy≠0);

(Ⅱ)顯然直線(xiàn)AC的斜率存在,設(shè)方程AC為y=k(x+1),C(x0,y0).

將y=k(x+1)代入x2+ =1得(3+k2x2+2k2x+k2﹣3=0,

解得x0= y0= ,則H( ).

原點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離d= ,

依題意可得

即7k4+2k2﹣9=0,解得k2=1,即k=1或﹣1,

故所求直線(xiàn)AC的方程為y=x+1或y=﹣x﹣1


【解析】(Ⅰ)由題意可設(shè)C(x,y),則G( ),H(x, ),求出 的坐標(biāo),再由 =0整理得答案;(Ⅱ)設(shè)方程AC為y=k(x+1),C(x0y0).聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程,求出H的坐標(biāo),由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得原點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離,結(jié)合題意得到關(guān)于k的等式,求出k值后可得直線(xiàn)AC的方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若直線(xiàn)AF與平面ABCD所成角的正弦值為 ,求二面角AF﹣E﹣DC的余弦值.

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年齡

頻數(shù)

頻率

[0,10)

10

0.1

5

5

[10,20)

[20,30)

25

0.25

12

13

[30,40)

20

0.2

10

10

[40,50)

10

0.1

6

4

[50,60)

10

0.1

3

7

[60,70)

5

0.05

1

4

[70,80)

3

0.03

1

2

[80,90)

2

0.02

0

2

合計(jì)

100

1.00

45

55


(1)完成表格一中的空位①﹣④,并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并估計(jì)2017年4月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù).
(2)完成表格二,并問(wèn)你能否有97.5%的把握認(rèn)為在觀(guān)花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān)?

50歲以上

50歲以下

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)


(3)按分層抽樣(分50歲以上與50以下兩層)抽取被調(diào)查的100位游客中的10人作為幸運(yùn)游客免費(fèi)領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門(mén)票,再?gòu)倪@10人中選取2人接受電視臺(tái)采訪(fǎng),設(shè)這2人中年齡在50歲以上(含)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列 (表二)

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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