Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，PA⊥CD，且PD=3，AD=3

2

，CD=2

2

；
（1）求證：CD⊥AD；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值；
（3）若E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點(diǎn)，在線段EF上是否存在點(diǎn)N，使得MN⊥平面PAB；若存在，求出點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，知PD⊥CD，由PA⊥CD，能夠證明CD⊥AD．
（2）以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正弦值．
（3）假設(shè)存在．由E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點(diǎn)，設(shè)

FN

=λ

FE

=(3

2

λ，0，0)，利用向量法能求出λ=

1

4

．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，
又∵PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AD．
（2）如圖，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ABCD是平行四邊形，CD⊥AD，PD=3，AD=3

2

，CD=2

2

，
則D（0，0，0），A（3

2

，0，0），B（3

2

，2

2

，0），C（0，2

2

，0），P（0，0，3），

AB

=（0，2

2

，0），

PB

=（3

2

，2

2

，-3），

CB

=（3

2

，0，0），
設(shè)平面APB的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），則

AB

•

n

=0，

PB

•

n

=0，
∴

2 2 y1=0 3 2 x1+2 2 y1-3z1=0

，解得

n

=（1，0，

2

），
設(shè)平面CPB的法向量

m

=（x₂，y₂，z₂），則

PB

•

m

=0，

CB

•

m

=0，
∴

3 2 x2+2 2 y2-3z2=0 3 2 x2=0

，解得

m

=（0，3，2

2

），
設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0+0+4

3 × 17

|=

4 51

51

，
∴二面角A-PB-C的正弦值為：

1-( 4 51 51 )2

=

1785

51

．
（3）假設(shè)存在．
∵E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點(diǎn)，
∴E（3

2

，

2

，0），F(xiàn)（0，

2

，0），

EF

=（3

2

，0，0），
設(shè)

FN

=λ

FE

=(3

2

λ，0，0)，M（

3 2

2

，

2

，

3

2

），

FM

=（

3 2

2

，0，

3

2

），

MN

=(3

2

λ-

3 2

2

，0，-

3

2

)，
∵M(jìn)N⊥平面PAB，
∴

AB • MN =0 PB • MN =0

，2(λ-

1

2

)+

1

2

=0，
∴λ=

1

4

．
故在線段EF上存在點(diǎn)N，F(xiàn)N=

1

4

FE，使得MN⊥平面PAB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查點(diǎn)的位置的探索．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．