某同學為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的值域是
[
2
+1，
5
]
[
2
+1，
5
]
．
分析：分別在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=
1+x2
+
1+(1-x)2
．運動點P，可得A、P、B三點共線時，PA+PF取得最小值；當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值．由此即可得到函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：Rt△PCF中，PF=
CP2+CF2
=
1+x2

同理可得，Rt△PAB中，PA=
1+(1-x)2

∴PA+PF=
1+x2
+
1+(1-x)2

∵當A、B、P三點共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，PA+PF取得最小值
AE2+EF2
=
5

當P在點B或點C時，PA+PF取得最大值
2
+1
∴
5
≤PA+PF≤
2
+1，可得函數(shù)f（x）=AP+PF的值域為[
5
，
2
+1]．
故答案為：[
5
，
2
+1]．
點評：本題以一個實際問題為例，求函數(shù)的值域，著重考查了勾股定理和函數(shù)的值域及其求法等知識點，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)的極值點是
1
2
1
2
，函數(shù)的值域是
[
5
，
2
+1]
[
5
，
2
+1]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在研究函數(shù)f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)時，分別得出如下幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數(shù)y（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
其中正確的序號有
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點的個數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省寧波市八校2011－2012學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學文科試題 題型：022

某同學為研究函數(shù)f(x)＝＋(0≤x≤1)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP＝x，則AP＋PF＝f(x)．請你參考這些信息，推知函數(shù)g(x)＝4f(x)－9的零點的個數(shù)是________．

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