Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（3﹣ax）．
（1）當 時，函數(shù)f（x）恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，并且f（x）的最大值為1．如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設t=3﹣ax，

∵a＞0，且a≠1，則t=3﹣ax為R上的減函數(shù)，

∴ 時，t的最小值為 ，

又∵當 ，f（x）恒有意義，即t＞0對 恒成立，

∴tmin＞0，即 ，

∴a＜2，又a＞0，且a≠1，

∴實數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（1，2）

（2）解：令t=3﹣ax，則y=logat，

∵a＞0時，函數(shù)t（x）為R上的減函數(shù)，y=logax在定義域上為增函數(shù)，

∴y=logat為減函數(shù)，

∴與函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)不符，

∴0＜a＜1，

∴當x∈[2，3]時，t（x）最小值為3﹣3a，即此時f（x）最大值為loga（3﹣3a），

由題意可知，f（x）的最大值為1，

∴l(xiāng)oga（3﹣3a）=1，

∴ ，即 ，

∴ ，

故存在實數(shù) ，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，并且f（x）的最大值為1．

【解析】（1）根據(jù)題意及對數(shù)函數(shù)的定義域可知，f（x）在上恒成立，即代數(shù)式3-ax的最小值大于零，從而結(jié)合a>0,a≠1求得a的取值范圍；（2）本小題的解題思路是根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)確定a的取值范圍，再結(jié)合f（x）的最大值為1求得a的值.特別需要注意的是解對數(shù)函數(shù)的相關題目時必須考慮自變量要在函數(shù)定義域內(nèi).
【考點精析】掌握復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和對數(shù)函數(shù)的定義域是解答本題的根本，需要知道復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”；對數(shù)函數(shù)的定義域范圍:（0，+∞）．