Question

莆田十中高三（1）研究性學習小組對函數(shù)f(x)=

sinx

x

的性質(zhì)進行了探究，小組長收集到了以下命題：
下列說法中正確命題的序號是

①③④

．（填出所有正確命題的序號）
①f（x）是偶函數(shù)；                     ②f（x）是周期函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)遞減；  ④f（x）沒有值最大值．

Answer 1

分析：直接利用f（-x）與f（x）之間的關(guān)系即可判斷①是否成立；
借助于導函數(shù)值的正負即可判斷出③是否成立；
根據(jù)y=sinx是周期為2π的函數(shù)，函數(shù)值每過2π重復出現(xiàn)，但y=x是一單調(diào)遞增函數(shù)即可判斷出②④．

解答：解：因為函數(shù)f(x)=

sinx

x

，
∴f（-x）=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x）．即f（x）是偶函數(shù)；①成立．
又f′（x）=

xcosx+sinx

x2

，
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）_max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)遞減； 即③成立．
又∵y=sinx是周期為2π的函數(shù)，函數(shù)值每過2π重復出現(xiàn)，但y=x是一單調(diào)遞增函數(shù)，
所以：f（x）不是周期函數(shù)；且f（x）沒有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷以及導函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用問題．在判斷函數(shù)的奇偶性時，一般是先看定義域，再看f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，當f（-x）=f（x）時為偶函數(shù)，當f（-x）=-f（x）時為奇函數(shù)．