Question

如圖所示，在正三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm，高為

3

2

cm．
求：
（1）此三棱臺(tái)的體積；
（2）此三棱臺(tái)的側(cè)面積．

Answer 1

分析：（1）利用三棱臺(tái)的高，上下底面棱的長(zhǎng)，根據(jù)臺(tái)體的體積公式求其體積．
（2）利用高、斜高、兩個(gè)對(duì)應(yīng)的邊心距構(gòu)成一個(gè)直角梯形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出斜高，代入側(cè)面積公式運(yùn)算．

解答：解：（1）根據(jù)臺(tái)體的體積公式V_臺(tái)體=

1

3

h（S+

SS′

+S′），
得此三棱臺(tái)的體積V=

1

3

×

3

2

（

3

4

×32+

3

4

×3×6+

3

4

×62）=

63 3

8

（cm³）．
（2）上底的邊心距（等邊三角形的中心到邊的距離）為

1

3

×

3

2

×3=

3

2

，
上底的邊心距為

1

3

×

3

2

×6=

3

，又高是

3

2

，故斜高為 

( 3 2 )2+( 3 - 3 2 )2

=

3

，
側(cè)面積等于3×（

(3+6)× 3

2

）=

27 3

2

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正棱臺(tái)的性質(zhì)，高、斜高、兩個(gè)對(duì)應(yīng)的邊心距構(gòu)成一個(gè)直角梯形，正棱臺(tái)的體積、側(cè)面積的求法．