設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a,c為實(shí)數(shù),且c≠0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)a=
1
2
,c=
1
2
,bn=n(1-an)(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(1)整理an+1=can+1-c得an+1-1=c(an-1),進(jìn)而判斷出當(dāng)a1=a≠1時(shí),{an-1}是首項(xiàng)為a-1,公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式,當(dāng)a=1時(shí),也成立,進(jìn)而可得答案.
(2)根據(jù)(1)中的an,求得bn,進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
解答:解:(Ⅰ)∵an+1=can+1-c,an+1-1=c(an-1),
∴當(dāng)a1=a≠1時(shí),{an-1}是首項(xiàng)為a-1,公比為c的等比數(shù)列
∴an-1=(a-1)cn-1
當(dāng)a=1時(shí),an=1仍滿足上式.
∴數(shù)列{an-1}的通項(xiàng)公式為an=(a-1)cn-1+1(n∈N*);
(Ⅱ)由(1)得,當(dāng)a=
1
2
,c=
1
2
時(shí),
bn=n(1-an)=n{1-[1-(
1
2
)n]}=n(
1
2
)n

Sn=b1+b2++bn=
1
2
+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3++n×(
1
2
)n
1
2
Sn=(
1
2
)2+2×(
1
2
)3++n×(
1
2
)n+1

兩式作差得
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)2++(
1
2
)n-n×(
1
2
)n+1

Sn=1+
1
2
+(
1
2
)2++(
1
2
)n-1-n×(
1
2
)n

=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
-n×(
1
2
)n=2×(1-
1
2n
)-
n
2n

Sn=2-
n+2
2n
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的遞推式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和.考查了學(xué)生綜合分析問題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對(duì)于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).
則{cn}
是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.
(I)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對(duì)于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式:
(Ⅱ)設(shè)(I)中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,試研究:是否存在實(shí)數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對(duì)于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
,則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對(duì)于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對(duì)任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn為( 。
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=( 。

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