Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ的系數(shù)相等，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  2

  3

  ，1)
• C、（-∞，0）
• D、（0，+∞）

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式分別求出兩個二項式的通項，令x的指數(shù)為n求出兩個二項式展開式中含xⁿ的系數(shù)，列出方程，利用組合數(shù)公式得到m，n的關(guān)系，將m用n表示，通過求函數(shù)的值域，求出m的范圍．

解答：解：（x+m）²ⁿ⁺¹的展開式的通項公式為T_r+1=C_2n+1^rm^rx^2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展開式中當(dāng)xⁿ的項的系數(shù)為C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹①
又（mx+1）²ⁿ展開式的通項公式T_k+1=C_2n^k（mx）^2n-k=m^2n-kC_2n^kx^2n-k
由2n-k=n得n=k
∴這一展開式中含xⁿ的項的系數(shù)為mⁿC_2nⁿ②
∴由①，②得C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=mⁿC_2nⁿ
mC_2n+1ⁿ=C_2nⁿ
m

(2n+1)!

(n+1)!n!

=

(2n)!

n!n!

∴m=

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2(2n+1)

∴m＞

1

2

③
又m≤

1

2

+

1

2×3

∴m≤

2

3

④
于是由③，④得

1

2

＜m≤

2

3

，
故選項為A．

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具；考查組合數(shù)公式．