【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,且∠DAB=60°,△PAB是邊長為a的正三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,已知點M是PD的中點.
(1)證明:PB∥平面AMC;
(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)連接BD交AC于點O,由三角形中位線可得OM∥PB. 再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,再設(shè)立各點坐標(biāo),根據(jù)方程組解得平面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果.
試題解析:(1)證明:連接BD交AC于點O,連接OM,因為四邊形ABCD為菱形,OB=OD,又M為PD的中點,所以OM∥PB.
由PB平面AMC,OM平面AMC,所以PB∥平面ACM.
(2)取AB的中點N,連接PN,ND,則∠AND=90°,
分別以NB,ND,NP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-xyz,
則B,C,
A,D,P,M,
則=,=.
設(shè)平面AMC的法向量為n=(x,y,z),
則令y=,則x=-1,
z=-,即n=.又=,設(shè)直線BD與n所成的角為θ,則cosθ==,故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為.
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【題目】已知數(shù)集(,)具有性質(zhì):對任意、(),與兩數(shù)中至少有一個屬于集合,現(xiàn)給出以下四個命題:①數(shù)集具有性質(zhì);②數(shù)集具有性質(zhì);③若數(shù)集具有性質(zhì),則;④若數(shù)集()具有性質(zhì),則;其中真命題有________(填寫序號)
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【題目】某零售公司從1月至6月的銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售量/萬件 | 6 | 8 | 12 | 13 | 11 | 10 |
利潤/萬元 | 12 | 16 | 26 | 29 | 25 | 22 |
(1)根據(jù)2月至5月4個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程.(的結(jié)果用分數(shù)表示);
(2)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的誤差均不超過1萬元,則認為得到的回歸直線方程是有效的.試用1月和6月的數(shù)據(jù)估計所得的回歸直線方程是否有效?
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):,.
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【題目】某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘漁船進行捕撈,第一年需要各種費用12萬元,從第二年開始包括維修費在內(nèi),每年所需費用均比上一年增加4萬元,該船每年捕撈的總收入為50萬元.
(1)該船捕撈第幾年開始盈利?
(2)若該船捕撈年后,年平均盈利達到最大值,該漁業(yè)公司以24萬元的價格將捕撈船賣出;求并求總的盈利值.
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【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化,相互統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中正確的個數(shù)是( )個
①對圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù);
②函數(shù)是圓的一個太極函數(shù);
③存在圓,使得是圓的太極函數(shù);
④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角CEMN的正弦值;
(3)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).
(1)當(dāng)時, ,若當(dāng)時, 恒成立,求的最小值;
(2)若的圖像關(guān)于對稱,且時, ,求當(dāng)時, 的解析式;
(3)當(dāng)時, .若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】下列幾個命題:①若方程的兩個根異號,則實數(shù);②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);③函數(shù) 在上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是;④ 方程 的根滿足,則m滿足的范圍,其中不正確的是( )
A.①B.②C.③D.④
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【題目】設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件:當(dāng)時,的最小值為0,且成立;當(dāng)時,恒成立.
(1)求的解析式;
(2)若對,不等式恒成立、求實數(shù)的取值范圍;
(3)求最大的實數(shù),使得存在實數(shù),只要當(dāng)時,就有成立.
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