【題目】已知函數(shù)f(x)=axln(x+1)+x+1(x>﹣1,a∈R).
(1)若 ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),不等式f(x)≤ex恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解: a= 時(shí),f(x)= xln(x+1)+x+1,

f′(x)= [ln(x+1)+1﹣ ]+1,

∵f′(x)在(﹣1,+∞)遞增,且f′(﹣1+ )=0,

故x∈(﹣1,﹣1+ )時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減,

x∈(﹣1+ ,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)遞減,

故f(x)在(﹣1,﹣1+ )遞減,在(﹣1+ ,+∞);


(2)記g(x)=f(x)﹣ex(x≥0),g(0)=0,

則g′(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex

記h(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex,

h′(x)=a[ + ]﹣ex,h′(0)=2a﹣1,

①a≤ 時(shí),∵ + ∈(0,2],ex≥1,

∴h′(x)≤0,h(x)在(0,+∞)遞減,

則h(x)≤h(0)=0,即g′(x)≤0,∴g(x)在(0,+∞)遞減,

∴g(x)≤g(0)=0恒成立,即f(x)≤ex恒成立,滿足題意;

②a≥ 時(shí),h′(x)在(0,+∞)遞減,

又h′(0)=2a﹣1>0,x→+∞時(shí),h′(x)→﹣∞,

則必存在x0∈(0,+∞),使得h′(x0)=0,

則x∈(0,x0)時(shí),h′(x)>0,h(x)在(0,x0)遞增,

此時(shí)h(x)>h(0)=0,

x∈(0,x0)時(shí),g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)遞增,

∴g(x)>g(0)=0,即f(x)>ex,不合題意,

綜上,a≤


【解析】(1.)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2.)記g(x)=f(x)﹣ex(x≥0),g(0)=0,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),記h(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex,通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性,從而確定a的具體范圍即可.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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年齡

頻數(shù)

頻率

[0,10)

10

0.1

5

5

[10,20)

[20,30)

25

0.25

12

13

[30,40)

20

0.2

10

10

[40,50)

10

0.1

6

4

[50,60)

10

0.1

3

7

[60,70)

5

0.05

1

4

[70,80)

3

0.03

1

2

[80,90)

2

0.02

0

2

合計(jì)

100

1.00

45

55


(1)完成表格一中的空位①﹣④,并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并估計(jì)2017年4月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù).
(2)完成表格二,并問(wèn)你能否有97.5%的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān)?

50歲以上

50歲以下

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)


(3)按分層抽樣(分50歲以上與50以下兩層)抽取被調(diào)查的100位游客中的10人作為幸運(yùn)游客免費(fèi)領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門票,再?gòu)倪@10人中選取2人接受電視臺(tái)采訪,設(shè)這2人中年齡在50歲以上(含)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列 (表二)

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:k2= ,其中n=a+b+c+d)

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf′(x)+f(x)= ,f(e)= ,則函數(shù)f(x)(
A.在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減
B.在(0,+∞)上單調(diào)遞增
C.在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增
D.在(0,+∞)上單調(diào)遞減

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