將直徑為的圓木鋸成長(zhǎng)方體橫梁,橫截面為矩形,橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為,).要將直徑為的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁,斷面的寬應(yīng)是____________

分析:據(jù)題意橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k,k>0)建立起強(qiáng)度函數(shù),求出函數(shù)的定義域,再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)取到最大值時(shí)的橫斷面的值。
解答:
設(shè)斷面高為h,則h2=d2-x2,
橫梁的強(qiáng)度函數(shù)f(x)=k?xh2,
所以f(x)=kx?(d2-x2),0<x<d。(5分)
當(dāng)x∈(0,d)時(shí),令f′(x)=k(d2-3x2)=0。
解得x=±(舍負(fù))。
當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)<x<d時(shí),f′(x)<0。
因此,函數(shù)f(x)在定義域(0,d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=。
所以f(x)在x=處取最大值,就是橫梁強(qiáng)度的最大值。
即當(dāng)斷面的寬為時(shí),橫梁的強(qiáng)度最大。
點(diǎn)評(píng):考查據(jù)實(shí)際意義建立相關(guān)的函數(shù),再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導(dǎo)的方法來求最值。
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