Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c)
（Ⅰ）由已知得

b=c 2a2 c =4 a2=b2+c2

?

a2=2 b2=1 c2=1

∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y得關(guān)于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴△＞0?64k²-24（1+2k²）＞0
解得k2＞

3

2

又由韋達定理得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

1+2k2

16k2-24

原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

∵S△AOB=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 2k2-3

1+2k2

．
對S=

16k2-24

1+2k2

兩邊平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，

16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0 4-S2 S2 ＞0 S2+24 4S2 ＞0

整理得：S2≤

1

2

又S＞0，∴0＜S≤

2

2

從而S_△AOB的最大值為S=

2

2

，
此時代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴k=±

14

2

所以，所求直線方程為：±

14

x-2y+4=0．