Question

(本小題滿分12分)如圖所示是某水產養(yǎng)殖場的養(yǎng)殖大網箱的平面圖，四周的實線為網衣，為避免混養(yǎng)，用篩網(圖中虛線)把大網箱隔成大小一樣的小網箱．

(1)若大網箱的面積為108平方米，每個小網箱的長x，寬y設計為多少米時，才能使圍成的網箱中篩網總長度最��；

(2)若大網箱的面積為160平方米，網衣的造價為112元/米，篩網的造價為96元/米，且大網箱的長與寬都不超過15米，則小網箱的長、寬為多少米時，可使總造價最低？

 

Answer 1

【答案】

(1)每個小網箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網箱中篩網的總長度最�。�

(2)當小網箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．

【解析】

試題分析：（1）將實際問題轉化成數(shù)學問題，出現(xiàn)乘積是定值，且等號能取到，利用基本不等式求最值．

（2）將實際問題轉化成數(shù)學問題，出現(xiàn)乘積是定值，但等號取不到，不能用基本不等式求最值，利用導數(shù)求函數(shù)單調性求最值．

(1)設小網箱的長、寬分別為x、y米，篩網總長度為L，

依題意4x·2y＝108，即xy＝，L＝4x＋6y. ……1分

因為4x＋6y＝2(2x＋3y)≥4＝36，所以L≥36. ………3分

當且僅當2x＝3y時，等號成立，

解方程組得……5分

即每個小網箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網箱中篩網的總長度最�。�………6分

(2)設總造價為W元，則由4x·2y＝160，得xy＝20. ……7分

因為4x≤15,2y≤15，所以x≤，y≤.

又因為y＝≤.

所以≤x≤.……8分

W＝(8x＋4y)·112＋(4x＋6y)·96＝·112＋·96＝1 280.……9分

求導，可得W(x)在上單調遞減．……10分

所以當x＝時，W最小，此時x＝，y＝.……11分

即當小網箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．………12分

考點：本試題主要考查了在實際問題中，運用均值不等式求解最值的運用。

點評：解決該試題的關鍵是利用基本不等式請求函數(shù)的最值是一定注意使用的條件：一正；二定；三相等．當然也可以運用函數(shù)的思想求解導數(shù)得到最值，兩者要合理使用。