Question

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與

aj

ai

兩數(shù)中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（2）求a₁的值；當(dāng)n=3時，數(shù)列a₁，a₂，a₃是否成等比數(shù)列，試說明理由；
（3）由（2）及通過對A的探究，試寫出關(guān)于數(shù)列a₁，a₂，…，a_n的一個真命題，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)性質(zhì)P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與

aj

ai

兩數(shù)中至少有一個屬于A，驗證給的集合集{1，3，4}與{1，2，3，6}中的任何兩個元素的積商是否為該集合中的元素；
（2）根據(jù)A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性質(zhì)P，則a_na_n 與

an

an

中至少有一個屬于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A 從而1=

an

an

∈A 求出a₁的值，易證

a3

a1

 ，  

a3

a2

，  

a3

a3

都屬于A，從而

a3

a1

=a3，

a3

a2

=a2，

a3

a3

=a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，滿足等比數(shù)列的定義；
（3）對于一切大于或等于3的奇數(shù)n，滿足性質(zhì)P 的數(shù)列a₁，a₂，…，a_n 成等比數(shù)列，由（2），不妨設(shè)n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）由于3×4 與

4

3

均不屬于數(shù)集{1，3，4}，∴數(shù)集{1，3，4} 不具有性質(zhì)P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，

6

2

，

6

3

，

1

1

 ， 

2

2

 ， 

3

3

 ， 

6

6

都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，
∴數(shù)集{1，2，3，6} 具有性質(zhì)P…4分
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性質(zhì)P，
∴a_na_n 與

an

an

中至少有一個屬于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A …5分
從而1=

an

an

∈A …6分∴a₁=1 …7分
當(dāng)n=3 時，∵

a3

a1

＞ 

a3

a2

＞ 

a3

a3

，a₁=1，a₂a₃∉A，∴

a3

a1

 ，  

a3

a2

，  

a3

a3

都屬于A …8分
從而

a3

a1

=a3，

a3

a2

=a2，

a3

a3

=a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，…9分
故數(shù)列a₁，a₂，a₃ 成等比數(shù)列…10分
（3）對于一切大于或等于3的奇數(shù)n，滿足性質(zhì)P 的數(shù)列a₁，a₂，…，a_n 成等比數(shù)列． …12分
證明：由（2），不妨設(shè)n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），知

a2k+1

a1

， 

a2k+1

a2

， 

a2k+1

a3

，…，

a2k+1

a2k+1

都屬于A，又

a2k+1

a1

＞ 

a2k+1

a2

＞ 

a2k+1

a3

＞…＞

a2k+1

a2k+1

，從而，有

a2k+1

a1

=a2k+1， 

a2k+1

a2

=a2k， 

a2k+1

a3

=a2k-1，…，

a2k+1

a2k+1

=a1，即 a_2k+1=a₁a_2k+1=a₂a_2k=a₃a_2k-1=…=a_i+2a_2k-i=…=a₂a_k+2=a_k+1² …（﹡） 因為a_i+ja_2k-i＞a_i+2a_2k-i=a_2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有

a2k-i

ai+3

，

a2k-i

ai+4

，… ， 

a2k-i

a2k-i

均屬于A． 將i 從0 到k-2 列舉，便得到：
第1組：

a2k

a3

 ， 

a2k

a4

 ， 

a2k

a5

 ， … ， 

a2k

a2k-1

 ， 

a2k

a2k

，共2k-2 項；
第2組：

a2k-1

a4

 ， 

a2k-1

a5

 ， 

a2k-1

a6

 ， … ， 

a2k-1

a2k-2

 ， 

a2k-1

a2k-1

，共2k-4 項；
第3組：

a2k-2

a5

 ， 

a2k-2

a6

 ， 

a2k-2

a7

 ， … ， 

a2k-2

a2k-3

 ， 

a2k-2

a2k-2

，共2k-6 項；
…第k-1 組：

ak+2

ak+1

 ， 

ak+2

ak+2

，共2 項．上一組的第2項總大于下一組的第1項，
再注意到

a2k

a3

=

a2k-1

a2

＜a2k-1，故第1組的各數(shù)從左到右依次為：a_2k-2，a_2k-3，a_2k-4，…，a₂，a₁；第2組的各數(shù)從左到右依次為：a_2k-4，a_2k-5，a_2k-6，…，a₂，a₁；第3組的各數(shù)從左到右依次為：a_2k-6，a_2k-7，a_2k-8，…，a₂，a₁； …第k-1 組的各數(shù)從左到右依次為：a₂，a₁．于是，有

a2k

a2k-1

=

a2k-1

a2k-2

=

a2k-2

a2k-3

=…=

ak+2

ak+1

=a2，由（﹡），

ak+1

ak

=

ak+2

ak+1

，

ak

ak-1

=

ak+3

ak+2

，…，

a3

a2

=

a2k

a2k-1

，又

a2k+1

a2k

=a2，故數(shù)列a₁，a₂，…，a_n 成等比數(shù)列．…15分

點評：本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，側(cè)重于對能力的考查，屬于較難層次題．