已知函數(shù)f(x)=a+
2
bsin(x+
π
4
)
的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),f(x)的最大值為2
2
-1

(1)求f(x)解析式;
(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)由f(x)的圖象能否得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,如果能,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,不能說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)和最大值為2
2
-1
,建立關(guān)于a、b的方程組,從而解出a、b的值,即可得到函數(shù)f(x)解析式;
(2)由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)將f(x)的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位得到y(tǒng)=-1+2
2
cosx的圖象,根據(jù)余弦函數(shù)為偶函數(shù)知平移所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)就是滿足條件的一個(gè)函數(shù),從而得到答案.
解答:解:(1)∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A(
π
2
,1),
a+
2
bsin(
π
2
+
π
4
)
=a+b=1.…①
又∵當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),f(x)的最大值為2
2
-1

a+
2
b=2
2
-1
,…②
聯(lián)解①②,可得a=-1、b=2,
∴函數(shù)f(x)解析式為:f(x)=-1+2
2
sin(x+
π
4
)
;
(2)令-
π
2
+2kπ≤x+
π
4
π
2
+2kπ(k∈Z),
解得-
4
+kπ≤x≤
π
4
+kπ(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-
4
+kπ,
π
4
+kπ],(k∈Z);
(3)將f(x)的圖象的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位,
得y=f(x+
π
4
)=-1+2
2
sin[(x+
π
4
)+
π
4
]
=-1+2
2
cosx的圖象,
設(shè)g(x)=-1+2
2
cosx,可得g(-x)=-1+2
2
cos(-x)=-1+2
2
cosx=g(x),
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
因此,f(x)的圖象能得到偶函數(shù)的圖象,其一個(gè)解析式為y=-1+2
2
cosx.
點(diǎn)評(píng):本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件,求其解析式并研究其單調(diào)性和奇偶性.著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、函數(shù)圖象的平移等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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