Question

15．已知命題p：?x₀∈[0，2]，log₂（x₀+2）＜2m；命題q：關(guān)于x的方程3x²-2x+m²=0有兩個相異實數(shù)根．
（1）若（￢p）∧q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若（?p）∧q為真，得到關(guān)于m的不等式組，解得實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p、q一真一假，分類討論，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=log₂（x+2），則f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）最小值為f（0）=1，故若p為真，則2m＞1，m＞$\frac{1}{2}$．…（2分）
△=4-12m²＞0即m²＜$\frac{1}{3}$時，方程3x²-2x+m²=0有兩相異實數(shù)根，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；…（4分）
（1）若（?p）∧q為真，則實數(shù)m滿足 $\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
故-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$，
即實數(shù)m的取值范圍為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$]；…（6分）
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p、q一真一假，
若p真q假，則實數(shù)m滿足 $\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}或m≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$即m≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
若p假q真，則實數(shù)m滿足 $\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識點，難度中檔．