Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)，設(shè)是定義在上的函數(shù).

（ⅰ）證明：在上為單調(diào)遞增函數(shù)(是的導(dǎo)函數(shù))；

（ⅱ）討論的零點(diǎn)個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）.（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）答案見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，按照、分類，求得、的解集即可得解；

（2）（ⅰ）令，對求導(dǎo)，按照、分類，證明恒大于0，即可得證；

（ⅱ）由的單調(diào)性結(jié)合，按照、分類，結(jié)合即可得解.

（1）求導(dǎo)得，

當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減，無極值；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則在處有極小值.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；

（2）（ⅰ）證明：由題意，

∵令，

∴，

∵，

當(dāng)時(shí)，，，，

則；

當(dāng)時(shí)，令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

從而有：，而，

則，則；

綜上，對都有成立，

故在區(qū)間單調(diào)遞增；

（ⅱ）由（ⅰ）知，在區(qū)間單調(diào)遞增且，

①當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，

則是的唯一極小值點(diǎn)，且，

從而可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有唯一零點(diǎn)0；

②當(dāng)時(shí)，有，

且，

故存在使，

此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

且

，

又，由零點(diǎn)存在定理知：

則在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，記作，

從而可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)：0和；

綜上：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有唯一零點(diǎn)0；

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有兩個不同零點(diǎn).