Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，g (x) =－6x + ln x³（a≠0）．

（Ⅰ）若函數(shù)h (x) = f (x)－g (x) 有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)a＞0，使得方程g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x  無實數(shù)解？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解 （Ⅰ）∵ h (x) = f (x)－g (x) =+ 6x－3 ln x（x＞0），

∴ ．                                                           …………………… 2分

∵ 函數(shù)h (x) 有兩個極值點，∴ 方程，

即ax² + 2x－1 = 0應(yīng)有兩個不同的正數(shù)根，于是  

Þ －1＜a＜0．                                                                      …………………… 6分

（Ⅱ）方程 g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x 即為 －6x + 3 ln x = 3ax²－3（2a + 1）x，

等價于方程 ax² +（1－2a）x－ln x = 0．

設(shè) H（x）= ax² +（1－2a）x－ln x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)H（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的零點問題（即函數(shù)H（x）圖象與x軸有無交點的問題）．    …………………… 8分

∵ H ′(x) = 2ax +（1－2a）－，

且a＞0，x＞0，則當(dāng)x∈（0，1）時，H ′(x)＜0，H（x）是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，+∞）時，H ′(x)＞0，H（x）是增函數(shù)．         …………………… 10分

因為 x ® 0（或者x ®+∞）時，H（x）® +∞，

∴ 要使H（x）圖象與x軸有無交點，只需

H（x）_min = H（1）= a +（1－2a）= 1－a＞0，結(jié)合a＞0得 0＜a＜1，為所求．

…………………… 12分