已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個焦點為F1,F(xiàn)2
(1)求此雙曲線的焦點坐標和漸近線方程;
(2)若橢圓與此雙曲線有共同的焦點,且有一公共點P滿足|PF1|•|PF2|=6,求橢圓的方程.
(1)雙曲線的方程為5x2-4y2=20可化為
x2
4
-
y2
5
=1
,
∴a=2,b=
5
,
∴c=
a2+b2
=3,
∴雙曲線的焦點坐標(±3,0),漸近線方程為y=±
5
2
x;
(2)由題意,設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,則不妨設|PF1|>|PF2|,
∵|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=4,
∴|PF1|=a+2,|PF2|=a-2,
∵|PF1|•|PF2|=6,
∴(a+2)(a-2)=6,
∴a2=10,
∵c=3,
∴b2=1,
∴橢圓的方程為
x2
10
+y2=1
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線過點(3,-2),且與橢圓4x2+9y2=36有相同焦點,則雙曲線的標準方程為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(
3
,-
3
2
)
,且橢圓的離心率e=
1
2
,過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點A、B及C、D.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值;
(Ⅲ)求|AB|+
9
16
|CD|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
2
,且經(jīng)過點(4,-
10
).
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設F1、F2為雙曲線C的左、右焦點,若雙曲線C上一點M滿足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1、F2,上頂點M(0,b),△MF1F2為正三角形且周長為6,直線l:x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是橢圓外的動點,滿足|
F1Q
|=2a.點P是線段F1Q與該橢圓的交點,點T在線段F2Q上,并且滿足
PT
TF2
=0
,|
TF2
|≠0.
(1)求證:|PQ|=|PF2|;
(2)求點T的軌跡C的方程;
(3)若橢圓的離心率e=
3
2
,試判斷軌跡C上是否存在點M,使△F1MF2的面積S=b2,若存在,請求出∠F1MF2的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,p是橢圓上一點,且在x軸上方,PF2⊥F1F2,PF2=λPF1,λ∈[
1
3
,
1
2
].
(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(2)當e取最大值時,過F1,F(xiàn)2,P的圓Q的截y軸的線段長為6,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,過橢圓右準線l上任一點A引圓Q的兩條切線,切點分別為M,N.試探究直線MN是否過定點?若過定點,請求出該定點;否則,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

過點M(1,1)作一直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1相交于A,B兩點,若M點恰好為弦AB的中點,則AB所在直線的方程為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
5
5
,過F1的直線交橢圓于M、N兩點,且△MNF2的周長為4
5

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設AB是過橢圓E中心的任意弦,P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點,求△APB面積的最小值.

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同步練習冊答案