Question

如圖：已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，過BD₁的平面分別交棱AA₁和棱CC₁于E、F兩點．
（1）求證：A₁E=CF；
（2）若E、F分別是棱AA₁和棱CC₁的中點，求證：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）由正方體的結構特征，結合已知中過BD₁的平面分別交棱AA₁和棱CC₁于E、F兩點，根據(jù)面面平行的性質定理，可得D₁E∥BF，BE∥D₁F，即四邊形EBFD₁為平行四邊形，進而由HL可證得Rt△A₁D₁E≌Rt△CB，由全等三角形的性質可得A₁E=CF；
（2）若E、F分別是棱AA₁和棱CC₁的中點，易得四邊形EBFD₁為菱形．連接EF、BD₁、A₁C₁．則四邊形EBFD₁為菱形，由正方形的結構特征及菱形的性質，可證得EF⊥平面BB₁D₁，進而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

解答：解：（1）證明：由題知，平面EBFD₁與平面BCC₁B₁交于BF、與平面ADD₁A交于ED₁ …（1分）
又平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁
∴D₁E∥BF  …（2分）
同理BE∥D₁F   …（3分）
∴四邊形EBFD₁為平行四邊形
∴D₁E=BF   …（4分）
∵A₁D₁═CB，D₁E=BF，∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴Rt△A₁D₁E≌Rt△CBF
∴A₁E=CF   …（6分）
（2）∵四邊形EBFD₁是平行四邊形．AE=A₁E，F(xiàn)C=FC₁，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四邊形EBFD₁為菱形． …（8分）
連接EF、BD₁、A₁C₁．∵四邊形EBFD₁為菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D⊥A₁A
∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．   …（10分）
又EF?平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁．又B₁D₁∩BD₁=D₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁．
又EF?平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．  …（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，平面與平面平行的性質，其中（1）的關鍵是由面面平行的性質定義證得D₁E∥BF，BE∥D₁F，進而得到四邊形EBFD₁為平行四邊形，（2）的關鍵是證得EF⊥平面BB₁D₁．