如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，AB=2，AA1=2
3
，D、E分別為AA1、BC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求三棱錐C-BC1D的體積．
（I）證明：如圖
取BC，B1C1的中點(diǎn)F、G，連結(jié)FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1
∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AF；
B1B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB1C1C，
又AD∥EF，且AD=EF=
1
2
AA1，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB1C1C．
（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面BB1C1C，∴DE是三棱錐C-BC1D底面BCC1上的高，
又DE∥AF，且DE=AF=
3
2
AB=
3
2
×2=
3
，
S△BCC1=
1
2
×BC×CC1=
1
2
×2×2
3
=2
3
；
∴三棱錐C-BC1D的體積為：
V三棱錐C-BC1C=
1
3
×S△ABC×DE=
1
3
×2
3
×
3
=2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中點(diǎn)，求證：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)在CD上（不含C，D兩點(diǎn)）
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）若F為CD中點(diǎn)，求證：EF⊥面BCD；
（3）當(dāng)
DF
FC
的值為多少時(shí)，能使AC∥平面EFB，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是BB1，CC1與AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AE∥平面A1DF；
（2）求證：A1M⊥平面AED；
（3）正方體棱長為2，求三棱錐A1-DEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）試在線段PD上確定一點(diǎn)G，使CG∥平面PAF，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（　�。�
A．直線ACB．直線B1D1C．直線A1D1D．直線A1A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，幾何體A1C1-ABC中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，且面AA1C1C⊥面ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線BC1與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求證：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面體NFEC體積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案