Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga （a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并說明理由；
（3）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時，函數(shù)f（x）的值域為（1，+∞），求實數(shù)n，a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=loga （a＞0且a≠1）是奇函數(shù)，

則有f（x）+f（﹣x）=0，

即loga +loga =0，

則有l(wèi)oga（ ）（ ）=0，

即（ ）（ ）=1，

解可得：m=±1，

當(dāng)m=1時，f（x）=loga ，沒有意義，

故m=﹣1

（2）解：由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga ，

設(shè)x1＞x2＞1，

f（x1）﹣f（x2）=loga ﹣loga =loga =loga（ ），

又由x1＞x2＞1，

則0＜ ＜1，

當(dāng)a＞1時，f（x1）﹣f（x2）＜0，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)，

當(dāng)0＜a＜1時，f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)

（3）解：由（1）可得：m=﹣1，即f（x）=loga ，

其定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

當(dāng)n＜a﹣2＜﹣1時，有0＜a＜1，

此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，有 ，無解；

當(dāng)1＜n＜a﹣2時，有a﹣2＞1，即a＞3，

此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)，有 ，解可得a=2+ ；

故n=1，a=2+

【解析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（x）+f（﹣x）=0，即loga +loga =0，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得（ ）（ ）=1，解可得m的值，驗證即可得答案；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，設(shè)x1＞x2＞1，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得f（x1）﹣f（x2）=loga（ ），分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論f（x1）﹣f（x2）的符號，綜合可得答案；（3）由（1）可得函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)f（x）的定義域，分n＜a﹣2＜﹣1和1＜n＜a﹣2兩種情況討論，求出a、n的值，即可得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．