Question

定義一組函數(shù)f_n(x)＝(1＋x)ⁿ－1(x＞－2)，n∈N，且n≥2，其導(dǎo)函數(shù)記為

(1)求證：f_n(x)≥nx

(2)設(shè)，求證：0＜x₀＜1

(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝f₃(x)－f₂(x)，[a，b]，g(x)在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]，求出k的最小值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明， 　　令，則 　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 　　故在上遞減，在(0，)上遞增，在處取得最小值 　　所以，即(4分) 　　(2)由，得， 　　所以，，易知(6分) 　　而， 　　由(1)知時(shí)，，故 　　所以，，因此(9分) 　　(3)， 　　 　　令，得，， 　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 　　當(dāng)時(shí)，， 　　所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)； 　　當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)(11分) 　　下面求出k的最小值及相應(yīng)的區(qū)間 　　(法一)：求直線與曲線在上的交點(diǎn)， 　　解方程組 　　得兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，0)，(，)， 　　當(dāng)，即時(shí)，存在滿足條件的區(qū)間， 　　因此的最小值為，此時(shí)(14分) 　　(法二)：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1212/0022/6509ba69f9f49c709100dad2caed2696/C/Image189.gif" width=29 height=21>在上是增函數(shù)，所以必有，即① 　　，即② 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1212/0022/6509ba69f9f49c709100dad2caed2696/C/Image196.gif" width=89 height=38>，，所以，若，則，，矛盾 　　所以，，由，知道當(dāng)時(shí)k有最小值為，此時(shí)．(14分)