Question

【題目】已知數列{an}滿足an＝2＋2cos2，n∈N*，等差數列{bn}滿足a1＝2b1，a2＝b2.

(1)求bn；

(2)記cn＝a2n－1b2n－1＋a2nb2n，求cn；

(3)求數列{anbn}前2n項和S2n.

Answer 1

【答案】(1)bn＝3n－2.(2)cn＝36n－18.(3)S2n＝18n2.

【解析】試題分析：（1）n為奇數，an＝2，當n為偶數，an＝4，所以b1＝·a1＝1，b2＝a2＝4，所以bn＝1＋(n－1)·3＝3n－2；（2）cn＝2[3(2n－1)－2]＋4[3(2n)－2]＝36n－18；（3）S2n＝a1b1＋a2b2＋a2n－1b2n－1＋a2nb2n＝c1＋c2＋…＋cn＝＝18n2.

試題解析：

(1)由題意知an＝3＋cos nπ，當n為奇數，an＝2；

當n為偶數，an＝4.

于是b1＝·a1＝1，b2＝a2＝4，故數列{bn}的公差為3，

故bn＝1＋(n－1)·3＝3n－2.

(2)cn＝2[3(2n－1)－2]＋4[3(2n)－2]＝36n－18.

(3)由(2)知，數列{cn}為等差數列，

故S2n＝a1b1＋a2b2＋a2n－1b2n－1＋a2nb2n

＝c1＋c2＋…＋cn＝＝18n2.