Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

Answer 1

分析：（1）先聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到x₁+x₂的值，再根據(jù)拋物線定義，得到焦點(diǎn)弦的弦長公式，
代入并解得p，從而求得拋物線的方程為y²=4x．
（2）設(shè)M(

y 2 0

2p

，y0)，根據(jù)直線AB的方程得到用y₀和p表示的點(diǎn)M到AB的距離d．又根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的上方
解得y₀的范圍，即求出了d的最大值，再代入面積公式，可求得S_△ABM的最大值．

解答：解：（1）由條件知lAB：y=x-

p

2

，則

y=x- p 2 y2=2px

，
消去y得：x2-3px+

1

4

p2=0，
則x₁+x₂=3p，由拋物線定義得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y²=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和lAB：y=x-

p

2

，設(shè)M(

y 2 0

2p

，y0)，
則M到AB的距離為：d=

|- 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，
因點(diǎn)M在直線AB的上方，所以-

1

2p

y

2 0

+y0+

P

2

＞0
則d=

2

2

(-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)=

2

2

[-

1

2p

(y0-p)2+p]
由x2-3px+

1

4

p2=0知A(

3-2 2

2

p，(1-

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1-

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，則當(dāng)y₀=p時(shí)，dmax=

2

2

p
則(S△ABM)max=

1

2

•4p•

2

2

p=

2

p2

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，及焦點(diǎn)弦公式，關(guān)鍵是點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用和拋物線上點(diǎn)坐標(biāo)的巧妙設(shè)法．