Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+x|x-a|，若f（x）在R上具有單調性，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：由絕對值的含義，可得f（x）=x²+x|x-a|=

2x2-ax，x≥a ax，x＜a

，再結合二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調性，對a討論，即可得到a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+x|x-a|
=

2x2-ax，x≥a ax，x＜a

，
由于f（x）在R上具有單調性，
則若f（x）遞增，
當x≥a時，對稱軸為x=

a

4

，在x≥

a

4

時遞增，
則有a≥

a

4

，即有a≥0；
當x＜a時，f（x）=ax，則有a＞0．
則有a＞0成立；
若f（x）在R上遞減，則由于二次函數(shù)在x≥

a

4

時遞增，
則不存在a．
故a的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調性的判斷，考查含絕對值的函數(shù)的單調性的求法，注意討論的方法，屬于中檔題和易錯題．