已知函數(shù)f(x)=
2x+3
3x
,數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=f(
1
an
),n∈N*
,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)若Tn
m
2
對(duì)n∈N*恒成立,求m的最小值.
分析:(1)由f(x)=
2x+3
3x
=
2
3
+
1
x
,a1=1,an+1=f(
1
an
),n∈N*
,知an+1=f(
1
an
)=
2
3
+an
,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由an=
2
3
n+
1
3
,知Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=-
4
3
(a2+a4+…+a2n)
,由此能求出Tn
(3)由n∈N*,{Tn}遞減,知當(dāng)n=1時(shí),Tn取最大值-
20
9
,由Tn
m
2
時(shí),n∈N*恒成立,知m≥(2Tn)max=-
40
9
,由此能求出m的最小值.
解答:解:(1)∵f(x)=
2x+3
3x
=
2
3
+
1
x
,a1=1,an+1=f(
1
an
),n∈N*

an+1=f(
1
an
)=
2
3
+an
,
∴{an}是以1為首項(xiàng),以
2
3
為公差的等差數(shù)列,
所以an=
2
3
n+
1
3

(2)∵an=
2
3
n+
1
3

∴Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1
=-
4
3
(a2+a4+…+a2n)

=-
4
3
[
5
3
n
+
n(n-1)
2
×
4
3
]
=-
4
9
(2n2+3n)

(3)由n∈N*,{Tn}遞減,
所以當(dāng)n=1時(shí),Tn取最大值-
20
9
,
Tn
m
2
時(shí),n∈N*恒成立,
所以,m≥(2Tn)max=-
40
9
,
所以,m的最小值為-
40
9
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的最小值的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1

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已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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3
2
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3
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已知函數(shù)f(x)=2-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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