Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為-1，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得到函數(shù)的定義域?yàn)閤大于0，求出f′（x），根據(jù)曲線在（2，f（2））處切線的斜率為-1，得到f'（2）=-1，代入導(dǎo)函數(shù)得到關(guān)于a的方程，求出a的解即可；
（2）令f′（x）=0求出x的值為1和a，然后分0＜a＜1，a=1和a＞1三個(gè)區(qū)間在定義域內(nèi)利用x的范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的增減區(qū)間，利用函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可．

解答：解：（1）由已知x＞0
f′(x)=x-(a+1)+

a

x

曲線y=f（x）在（2，f（2））處切線的斜率為-1，
所以f'（2）=-1即2-(a+1)+

a

2

=-1，解得a=4
（2）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（a，1）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
此時(shí)x=a是f（x）的極大值點(diǎn)，x=1是f（x）的極小值點(diǎn)．
②當(dāng)a=1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x=1時(shí)，f'（x）=0，
當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．
③當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（a，1）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
此時(shí)x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，x=a是f（x）的極小值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x=a是f（x）的極大值點(diǎn)，x=1是f（x）的極小值點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞1時(shí)，x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，x=a是f（x）的極小值點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會(huì)求曲線上過(guò)某點(diǎn)的切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．以及會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題．