Question

（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過上一點(diǎn)P作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，
（1）求證：；
（2）求證：A、F、B三點(diǎn)共線；
（3）求的值．

Answer 1

（3）

試題分析：（1）準(zhǔn)線為y=-1,F(0,1),設(shè)P(n,-1),,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001143244582.png" style="vertical-align:middle;" />,所以，
所以,即,
,即,
所以a,b是方程,
所以,
所以.
(2)由（1）知a+b=2n,,
所以直線AB的方程為即
因?yàn)閍+b=2n,ab=-4,所以直線AB的方程為,
所以恒過點(diǎn)F（0，1）.
(3)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001143462674.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以為常數(shù).
點(diǎn)評：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出切點(diǎn)A，B處的導(dǎo)數(shù)即A,B的斜率，然后證明斜率之積為-1，來證明兩條切線垂直.證明A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，關(guān)鍵是利用第（1）問的結(jié)果，求出AB的點(diǎn)方程，證明點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足此方程即可.第（3）問分別求出和都用n表示，從而證明其為定值.