Question

【題目】已知圓和拋物線，圓與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，的面積為，其中是的焦點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）不過原點(diǎn)的動(dòng)直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，且滿足，設(shè)點(diǎn)為圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意表示的面積，解出p值，即可求出拋物線的方程；

（2）利用直線和拋物線的位置關(guān)系，建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立等量關(guān)系，最后利用最大值求出直線的方程．

（1）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為.

拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，

將代入圓方程，得，

∴ ，的面積為，

∴，∴拋物線的方程為.

（2）設(shè)的直線方程為，，，聯(lián)立方程組得：

，消去，整理得，

令，得.

由韋達(dá)定理得，①

則 .

由于，可得.

即，②

將①代入②整理得.

由于得，則直線過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，

此時(shí)，則直線的斜率為，

所以直線的方程為.