已知函數(shù)f(x)=
4x+a
1+x2
的單調(diào)遞增區(qū)間為[m,n]
(1)求證f(m)f(n)=-4;
(2)當(dāng)n-m取最小值時(shí),點(diǎn)p(x1,y1),Q(x2,y2)(a<x1<x2<n),是函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn),若存在x0使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
,x求證x1<|x0|<x2
(1)f′(x)=
-4x2-2ax+4
(1+x2)2
,
依題意,m,n是方程-4x2-2ax+4=0的兩根,
m+n=-
a
2
mn=-1

f(m)f(n)=
4m+a
1+m2
4n+a
1+n2

=
16mn+4a(m+n)+a2
(mn)2+(m+n)2-2mn+1

=
-(16+a2)
a2
4
+4
=-4.
(2)∵n-m=
(m+n)2-4x1x2

=
a2
4
+4
≥2

∴n-m取最小值時(shí),a=0,n=1,m=-1,
∵f(x)在[-1,1]是增函數(shù),0<x1<x2<1,
f(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
>0,從而x0∈(-1,1).
f′(x0)=
4(1-x02)
(1+x02)2
=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
4(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
,
(1-x02)
(1+x02)2
=
1-x1x2
(1+x12)(1+x22)

(1+x12)(1+x22)=x12x22+x12+x22+1
>(x1x22+2x1x2+1
=(1+x1x2)2
1-x02
(1+x02)2
=
1-x1x2
(1+x12)(1+x22)
1-x1x2
(1+x1x2)2

設(shè)g(x)=
1-x
(1+x)2
,則g′(x)=
(x-1)2-2
(1+x)4
,
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),有g(shù)′(x)<0,
∴g(x)是(0,1)上的減函數(shù).
∴由g(x02)<g(x1x2),得x02>x1x2>x12,∴|x0|>x1
1-x02
(1+x02)2
=
1-x1x2
(1+x12)(1+x22)
,及0<1-x02<1-x1x2,
(1+x02)2<(1+x12)(1+x22)(1+x22)2
故1+x02<1+x22,即|x0|<x2,
∴x1<|x0|<x2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

函數(shù)f(x)=
x2-x4
|x-2|-2
.給出函數(shù)f(x)下列性質(zhì):(1)函數(shù)的定義域和值域均為[-1,1];(2)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng);(3)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增;(4)Af(x)dx=0(其中A為函數(shù)的定義域);(5)A、B為函數(shù)f(x)圖象上任意不同兩點(diǎn),則
2
<|AB|≤2
.請(qǐng)寫(xiě)出所有關(guān)于函數(shù)f(x)性質(zhì)正確描述的序號(hào)______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

上定義的函數(shù)是奇函數(shù),且,若在區(qū)間是減函數(shù),則函數(shù)(    )
A.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),若函數(shù)g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(
1
e
,e2+
1
e
B.(0,e2+
1
e
C.(e2+
1
e
,+∞)
D.(-∞,e2+
1
e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo).導(dǎo)函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f(x)>0,x0∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程.
(1)用x0,f(x0),f(x0)表示m;
(2)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x);
(3)若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥
3
2
x
2
3
在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實(shí)數(shù),求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)f(x)=(a-
1
ex-1
)sinx
是偶函數(shù),則常數(shù)a等于______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)lnx≤xem2-m-1對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍是( 。
A.(-∞,0]∪[1,+∞)B.[0,1]C.[e,2e]D.(-∞,e)∪[2e,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+3)f(x)=-1,f(-2)=1,則f(2012)=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù),若,則的值為(     )
A.3B.0C.-1D.-2

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