Question

已知四棱錐，面,∥,,，,,為上一點(diǎn),是平面與的交點(diǎn).

（1）求證：∥；

（2）求證：面；

（3）求與面所成角的正弦值.

 

Answer 1

（1）、（2）證明詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)∥，可證明∥面，再利用線面平行的關(guān)系可證明∥；（2）考慮通過證明與（已知），而證明可通過證明面來證明；（3）考慮以DA，DC，DP為坐標(biāo)建立空間直角坐標(biāo)，通過求直線PC的方向向量與平面EFCD的法向量的夾角來處理．

試題解析：（1）∥ ,面,面，∴∥面，

又∵面面，

∴∥，∴∥．

（2）∵面，∴．

又，∴面，

∵面,∴．

又∵，∴面 ．

（3）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

,

設(shè)由且∥可得

，解得，∴．

設(shè)為平面的一個法向量則有

，令，，∴ ，

∴與面所成角的正弦值為 .

考點(diǎn)：1、空間直線、平面間的平行與垂直；2、直線與平面所成角；3、空間向量的應(yīng)用．