Question

設(shè)α．β是方程x²-2kx+k+6=0的實(shí)根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是（　　）

• A．-

  49

  4

• B．8
• C．14
• D．18

Answer 1

分析：由題意可得△=4k²-4（k+6）≥0，解出k的范圍，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出α+β 和α•β 的值，把
（α-1）²+（β-1）² 化簡(jiǎn)變形為4(k-

3

4

)2-

49

4

，再根據(jù)k的范圍利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．

解答：解：∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的實(shí)根，∴△=4k²-4（k+6）≥0，
解得 k≤-2，或k≥3．
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得  α+β=2k，α•β=k+6．
故 （α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β）+2=（α+β）²-2（α+β）-2α•β+2
=4k²-2×2k-2（k+6）+2=4(k-

3

4

)2-

49

4

．
故當(dāng)k=3時(shí)，（α-1）²+（β-1）² 有最小值為8，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．