如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影為O.
(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,問(wèn)F在何處時(shí),EF⊥AD?
(3)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的正切值.
分析:(1)由平行六面體底面為正方形,知A1A∥CC1,A1C1∥AC,由O1,O分別為上下底面中心,知A1O1∥CO,CO1∥A1O.再由A1在底面ABCD射影為O,能夠證明平面O1DC⊥平面ABCD.
(2)過(guò)E作AC垂線,垂足為G,則EG∥A1O,故EG⊥平面AC,由此能夠推導(dǎo)出F為BC的三等分點(diǎn),靠近B時(shí),EF⊥AD.
(3)由BO⊥AO,BO⊥A1O,AO∩A1O=O,知BO⊥面CA1,過(guò)O作OM⊥AA1于M,連接BM,則AA1⊥BM,∠BMO是二面角C-AA1-B的平面角,由此能求出二面角C-AA1-B的正切值.
解答:解:(1)∵平行六面體底面為正方形,
∴A1A∥CC1,∴A1C1∥AC,
又O1,O分別為上下底面中心,∴A1O1∥CO,∴CO1∥A1O.
∵A1在底面ABCD射影為O,∴A1O⊥平面AC,CO1⊥平面AC,
又CO1?平面O1DC,
∴平面O1DC⊥平面ABCD.
(2)過(guò)E作AC垂線,垂足為G,則EG∥A1O,
∴EG⊥平面AC,
若要EF⊥AD,即EF⊥BC,則需GF⊥BC,
∵底面ABCD圖形為正方形,∴FG∥AB,
A1E=
1
2
AE
,則OG=
1
2
AG

GF
AB
=
CF
CB
=
CG
CA
=
4
6
=
2
3
,
∴F為BC的三等分點(diǎn),靠近B時(shí),EF⊥AD.
(3)∵BO⊥AO,BO⊥A1O,AO∩A1O=O,
∴BO⊥面CA1,過(guò)O作OM⊥AA1于M,
連接BM,則AA1⊥BM,∠BMO是二面角C-AA1-B的平面角
由A1O⊥面AC,AO=BO得A1A=A1B,∠A1AB=60O
∴△A1AB為正三角形,
設(shè)AB=a,A1A=a,則AO=BO=
1
2
a
,
A1O=
1
2
a
OM=
AA1
2
=
a
2
,
在Rt△BOM中,tan∠BMO=
BO
OM
=
2
,
所以所求的二面角的正切值為
2
點(diǎn)評(píng):本題考查平面垂直的證明,考查滿足條件的點(diǎn)的求法,考查二面角的正切值的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知平行六面體OABC-O1A1B1C1,點(diǎn)G是上底面O1A1B1C1的中心,且
OA
=
a
,
OC
=
b
,
OO1
=
c
,則用
a
,
b
,
c
表示向量
OG
為( 。

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(1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,問(wèn)F在何處時(shí),EF⊥AD?

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如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1(底面是平行四邊形的四棱柱)
①求證:平面AB1D1∥平面BDC1
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1,E為CD的中點(diǎn),AC1∩BD1=0,求證:OE⊥平面ABC1D1

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如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.
(1)求證:面O1DC⊥面ABCD;
(2)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B大;
(3)若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí),EF⊥AD.

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