如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點,G為PD的中點△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
32
,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求三棱錐P-ABD外接球的體積.
分析:(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明AD⊥平面CFG;
(2)根據(jù)條件求三棱錐P-ABD外接球的半徑,進而求球的體積.
解答:解:(1)在△ABD中,∵E是BD的中點,
∴EA=EB=ED=AB=1,∴AE=
1
2
BD
,
可得∠BAD=
π
2
,且∠ABE=∠AEB=
π
3
,
∵△DAB≌△DCB,
∴△EAB≌△ECB,
從而有∠FED=∠FEA=∠AEB=
π
3

故EF⊥AD,AF=FD,
又∵△PAD,中,PG=GD,
∴FG是△PAD的中位線,
∴FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面ABCD,
∵AD?平面ABCD,
∴GF⊥AD,
又∵EF,F(xiàn)G是平面CFG內(nèi)的相交直線,
∴AD⊥平面CFG.
(2)∵PA、PB、PD兩兩垂直,可補形成長方體,
其外接球2R=
12+(
3
)
2
+(
3
2
)
2
=
5
2
,
∴R=
5
4

V=
4
3
πR3=
125π
48
點評:本題主要考查線面垂直的判定以及空間幾何體的體積,要求熟練掌握相應的判定定理.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大。划斊矫鍭BCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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