Question

（2006•重慶一模）已知函數(shù)f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0且x∈[0，π]時，函數(shù)f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式括號中的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（I）把a=1代入化簡后的函數(shù)解析式中，根據(jù)正弦函數(shù)在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]時單調(diào)遞增，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，根據(jù)a小于0，由正弦函數(shù)的最大值及最小值表示出函數(shù)的最大值及最小值，得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進而求出a+b的值．

解答：解：f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b
=a（cosx+1+sinx）+b
=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，（2分）
（I）當(dāng)a=1時，f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+1+b，
∴當(dāng)2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時，f（x）是增函數(shù)，
解得：2kπ-

3

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，（9分）
∵a＜0，∴當(dāng)sin（x+

π

4

）=1時，f（x）取最小值，即

2

a+a+b=3①，
當(dāng)sin（x+

π

4

）=-

2

2

時，f（x）取最大值4，即b=4，
將b=4代入①式，解得a=1-

2

，
則a+b=5-

2

．（13分）

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．