(1)已知點,過點的直線與過點的直線相交于點,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長線相交于點,則.

(1)的軌跡是以為頂點,焦點在軸的橢圓(除長軸端點);(2)證明詳見解析.

解析試題分析:(1)本題屬直接法求軌跡方程,即根據(jù)題意設(shè)動點的坐標(biāo),求出,列出方程,化簡整理即可;(2)設(shè),在中,由正弦定理得,同時在在中,由正弦定理得,然后根據(jù),進而得到,最后將得到的兩等式相除即可證明.
試題解析:(1)設(shè)點坐標(biāo)為,則     2分
整理得     4分
所以點的軌跡是以為頂點,焦點在軸的橢圓(除長軸端點) 6分
(2)證明:設(shè)

中,由正弦定理得 ①     8分
中,由正弦定理得,而
所以 ②   10分
①②兩式相比得     12分.
考點:1.軌跡方程的求法;2.正弦定理的應(yīng)用.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知分別是橢圓的左,右頂點,點在橢圓 上,且直線與直線的斜率之積為

(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)點為橢圓上除長軸端點外的任一點,直線與橢圓的右準線分別交于點,
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
②已知常數(shù),求的取值范圍.

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已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點軸上,拋物線上的點的距離為2,且的橫坐標(biāo)為1.直線與拋物線交于,兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)直線的傾斜角之和為時,證明直線過定點.

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已知橢圓的離心率為,直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓的交點為,求弦長.

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拋物線,其準線方程為,過準線與軸的交點做直線交拋物線于兩點.
(1)若點中點,求直線的方程;
(2)設(shè)拋物線的焦點為,當(dāng)時,求的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,點在直線上運動,過點垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于,兩點.試探究:當(dāng)直線,的斜率存在且傾斜角互補時,直線的斜率是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點,若軸上一點滿足,求直線的斜率的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的兩個焦點是(0,-)和(0,),并且經(jīng)過點,拋物線E的頂點在坐標(biāo)原點,焦點F恰好是橢圓C的右頂點.
(Ⅰ)求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2,l1交拋物線E于點A、B,l2交拋物線E于點G、H,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,設(shè)F(-c,0)是橢圓的左焦點,直線l:x=-與x軸交于P點,MN為橢圓的長軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準方程;
(Ⅱ)過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面積的最大值。

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