Question

（2012•濟(jì)南二模）一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．請(qǐng)求出該考生：
（1）得60分的概率；
（2）所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選對(duì)的為事件A，“有一道題可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤”選對(duì)的為事件B，“有一道題不理解題意”選對(duì)的為事件C，由P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，能求出得60分的概率．
（2）ξ可能的取值為40，45，50，55，60，分別求出P（ξ=40），P（ξ=45），P（ξ=50），P（ξ=55）和P（ξ=60），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選對(duì)的為事件A，
“有一道題可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤”選對(duì)的為事件B，
“有一道題不理解題意”選對(duì)的為事件C，
∴P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，
∴得60分的概率為p=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．…（4分）
（2）ξ可能的取值為40，45，50，55，60…（5分）
P（ξ=40）=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；…（6分）
P（ξ=45）=C12×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

…（7分）
P（ξ=50）=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+C12×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+C¹₂×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

17

48

；…（8分）
P（ξ=55）=C¹₂×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

=

7

48

…（9分）
P（ξ=60）=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

，
∴ξ的分布列：

ξ	40	45	50	55	60
P（ξ）	1 8	17 48	17 48	7 48	1 48

…（10分）
Eξ=40×

6

48

+（45+50）×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．