【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的焦距為2 ,橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx﹣2與橢圓C交于A,B兩點,點P(0,1),且|PA|=|PB|,求直線l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由橢圓的定義可得2a=6,2c=2 , 解得a=3,c= ,
所以b2=a2﹣c2=3,
所以橢圓C的方程為 + =1.
(Ⅱ)由
得(1+3k2)x2﹣12kx+3=0,
由于直線與橢圓有兩個不同的交點,
所以△=144k2﹣12(1+3k2)>0解得
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2
, ,
,
所以,A,B中點坐標(biāo)E( , ),
因為|PA|=|PB|,所以PE⊥AB,即kPEkAB=﹣1,
所以 k=﹣1
解得k=±1,
經(jīng)檢驗,符合題意,
所以直線l的方程為x﹣y﹣2=0或x+y+2=0
【解析】(Ⅰ)由橢圓的定義可得a,由焦距的概念可得c,再由a,b,c的關(guān)系可得b,進(jìn)而得到橢圓方程;(Ⅱ)直線l:y=kx﹣2代入橢圓方程,運用韋達(dá)定理和判別式大于0,再由中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件,可得k的方程,解方程可得直線方程.

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